课题名称：大规模信号处理与图像恢复问题的优化算法研究
课题编号：2023HSDS38
课题负责人：夏艳
课题组成员：李远飞
一、该项目的研究目的和意义
研究目的：深入研究共轭梯度算法在大规模信号处理与图像恢复问题中的应用。主要包括：(1)对现有共轭梯度算法进行改进，提出新型的算法以应对大规模数据处理中的计算复杂性和内存限制；(2)确保改进后的算法在解决非线性方程组时展现出卓越的收敛性能和鲁棒性；(3)通过详尽的数值实验分析，评估新算法在信号处理和 图像恢复问题中的性能，并与现行算法进行对比；(4)探讨新算法在大规模问题中的适用范围和潜在的限制，为实际工程应用提供理论参考和指导。
研究意义：(1)算法效率提升：在大规模数据处理背景下，本项目的研究将有助于提高共轭梯度算法的计算效率，这对于提升通信系统、雷达监测、医学成像等领域的实时数据处理能力具有关键作用。 (2)图像恢复质量增强：通过本项目的研究，有望实现更高效的图像恢复算法，这对于改善图像质量、增强图像可解释性在计算机视觉和图像处理领域具有显著的应用价值。(3)理论贡献：对于共轭梯度算法的理论发展将做出贡献，通过算法的改进和优化，将丰富最优化理论和算法的学术体系，为后续研究提供理论基础。(4)跨学科
应用推动：在大数据时代的背景下，本项目的研究成果将促进信号处理与图像恢复技术在多个学科领域的应用，有助于推动跨学科研究和技术创新，对经济社会的发展具有深远影响。
二、项目研究的主要成果
序号 |
成果名单 |
成果形式 |
作者 |
刊物、出版时间、 |
1 |
Globalconvergenceina modifiedRMIL-type conjugategradient algorithmfornonlinear systems ofequationsand signalrecovery |
论文 |
夏艳、王松华 |
Electronic ResearchArchive、2024.11.27 |
2 |
凸约束方程组的新型无导 数算法及在信号重构中的 应用 |
论文 |
夏艳，李远飞， 王松华，李丹 丹 |
吉林大学学报(理学版)、2024.9.06 |
3 |
非线性方程组的方向重启改进型算法及应用 |
论文 |
夏艳，李丹丹， 王松华，李远 飞 |
北华大学学报(自然科学版)、 2024.10.12 |
三、研究成果的主要内容
(1)提出了一种改进的Rivaie-Mohd-Ismail-Leong (RMIL)型共轭梯度算法。所提出的算法具有以下关键特性：修改后的共轭参数为非负，以增强了算法的稳定性；搜索方向满足充分下降性和信赖域特性，且不依赖于任何线搜索技术；在一般假设下，建立了所提算法的全局收敛性，无需对非线性方程组要求Lipschitz连续性条件；数值实验表明，所提算法在效率和稳定性方面均超过了现有的类似算法，特别是在应用于大规模非线性方程组和压缩感知中的信号恢复问题
时。(2)提出一种新型无导数算法，以解决凸约束非线性方程组问
题。该算法利用改进的共轭参数设计搜索方向，以确保算法的充分下
降性和信赖域特性。在适当的假设下，该算法具有全局收敛性。数值仿真结果表明，该算法在处理凸约束非线性方程组问题和信号重构问题时具有高效性和鲁棒性。(3)提出一种方向重启改进的共轭梯度算法，旨在优化凸约束非线性方程组和稀疏信号恢复问题的求解过程。通过修正经典的共轭参数设计新的搜索方向，并结合投影技术与无导数线搜索技术来更新迭代点。新的搜索方向在不依赖于任何线搜索下具备充分下降性与信赖域特征，且在合理的假设下证明了新算法的全局收敛性质。数值实验结果表明，新算法在求解凸约束非线性方程组和信号恢复的应用场景中，相比同类算法具有更优的性能和更广泛的
应用潜力。
四、创新之处
(1)非负共轭参数的引入，确保了算法的稳定性，以及搜索方向具备的充分下降性和信赖域特性，简化了算法流程，摆脱了对复杂线搜索技术的依赖。更重要的是，算法的全局收敛性证明不再需要Lipschitz 连续性条件，拓宽了算法的应用范围。数值实验结果表明，
该算法在处理大规模非线性方程组时表现出卓越的效率和稳定性，特别是在大规模信号处理和图像恢复领域，其性能超越了现有算法，为这些领域提供了高效、可靠的求解工具。(2)从理论方面，本研究的创新性体现在对共轭梯度算法的共轭参数进行了系统性的改进，确保了搜索方向在不依赖线搜索的情况下仍具备充分下降性和信赖域特性，这一改进为优化算法的理论研究提供了新的视角。同时，通过严格的数学论证，确立了新算法的全局收敛性，为算法的理论完善和
可靠性分析奠定了基础。从应用方面，新算法在数值实验中显示出的
高效性和鲁棒号恢复问题上用领域的巨大工程和科学问
出了一种新的搜索方向设计策略，这种策略不依赖于传统的线搜索方法，从而提高了算法的灵活性和适用范围。通过引入投影技术和无导数线搜索技术，新算法在保持充分下降性的同时，还具备了信赖域特征，这确保了算法在迭代过程中的稳定性。此外，该算法在合理的假设下证明了全局收敛性质，这是算法理论分析的重要进展。数值实验的结果进一步验证了新算法在实际应用中的优越性能，表明其在处理实际问题时的有效性和高效性，为未来算法设计和优化提供了新的思路和方向。
五、成果的学术价值、应用价值
(1)该研究提出的改进RMIL型共轭梯度算法在数值优化领域具有重要的学术价值。首先，非线性方程组在工程、物理、经济学等多个学科中广泛存在，因此发展高效稳定的求解算法对于这些领域的发展至关重要。其次，通过改进现有算法，该研究为非线性优化问题提供了一种新的解决途径，有助于推动相关理论和方法的发展。此外，算法的稳定性增强和效率提升对于解决实际应用中的大规模问题具有显著意义，特别是在大数据时代背景下，对于处理复杂系统的模型求解具有重要的实用价值。(2)本研究的贡献在于开发了一种新型无导数算法，针对凸约束非线性方程组问题，提供了有效的数值解法。该算法丰富了优化理论和信号处理领域的算法工具箱，其高效和稳健的性能为这些领域的研究和实践提供了新的视角和手段。(3)该研究在数值优化领域具有重要的学术价值，因为它不仅深化了我们对共轭梯度算法的理解，而且为解决凸约束非线性方程组和稀疏信号恢复问题提供了新的视角和方法。这些问题的解决方案在工程、物理学、经济学和机器学习等多个学科中都有着广泛的应用。通过优化算法的效率和收敛性，该研究有助于推动相关领域的发展，特别是在大数据时代，对于处理复杂和高维数据具有重要意义。
